Стандартная ошибка средней арифметической - statanaliz.info

Стандартная ошибка средней арифметической

Среднее арифметическое, как известно, используется для получения обобщающей характеристики некоторого набора данных. Если данные более-менее однородны и в них нет аномальных наблюдений (выбросов), то среднее хорошо обобщает данные, сведя к минимуму влияние случайных факторов (они взаимопогашаются при сложении).

Когда анализируемые данные представляют собой выборку (которая состоит из случайных значений), то среднее арифметическое часто (но не всегда) выступает в роли приближенной оценки математического ожидания. Почему приближенной? Потому что среднее арифметическое – это величина, которая зависит от набора случайных чисел, и, следовательно, сама является случайной величиной. При повторных экспериментах (даже в одних и тех же условиях) средние будут отличаться друг от друга.

Для того, чтобы на основе статистического анализа данных делать корректные выводы, необходимо оценить возможный разброс полученного результата. Для этого рассчитываются различные показатели вариации. Но то исходные данные. И как мы только что установили, среднее арифметическое также обладает разбросом, который необходимо оценить и учитывать в дальнейшем (в выводах, в выборе метода анализа и т.д.).

Интуитивно понятно, что разброс средней должен быть как-то связан с разбросом исходных данных. Основной характеристикой разброса средней выступает та же дисперсия.

Дисперсия выборочных данных – это средний квадрат отклонения от средней, и рассчитать ее по исходным данным не составляет труда, например, в Excel предусмотрены специальные функции. Однако, как же рассчитать дисперсию средней, если в распоряжении есть только одна выборка и одно среднее арифметическое?

Расчет дисперсии и стандартной ошибки средней арифметической

Чтобы получить дисперсию средней арифметической нет необходимости проводить множество экспериментов, достаточно иметь только одну выборку. Это легко доказать. Для начала вспомним, что средняя арифметическая (простая) рассчитывается по формуле:

формула средней арифметической

где xi – значения переменной,
n – количество значений.

Теперь учтем два свойства дисперсии, согласно которым, 1) — постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат и 2) — дисперсия суммы независимых случайных величин равняется сумме соответствующих дисперсий. Предполагается, что каждое случайное значение xi обладает одинаковым разбросом, поэтому несложно вывести формулу дисперсии средней арифметической:

Формула дисперсии средней арифметической

Используя более привычные обозначения, формулу записывают как:

Дисперсия средней арифметической

где σ2 – это дисперсия, случайной величины, причем генеральная.

На практике же, генеральная дисперсия известна далеко не всегда, точнее совсем редко, поэтому в качестве оной используют выборочную дисперсию:

Дисперсия средней арифметической по выборке

Стандартное отклонение средней арифметической называется стандартной ошибкой средней и рассчитывается, как квадратный корень из дисперсии.

Формула стандартной ошибки средней при использовании генеральной дисперсии

Стандартная ошибка средней

Формула стандартной ошибки средней при использовании выборочной дисперсии

Стандартная ошибка средней по выборке

Последняя формула на практике используется чаще всего, т.к. генеральная дисперсия обычно не известна. Чтобы не вводить новые обозначения, стандартную ошибку средней обычно записывают в виде соотношения стандартного отклонения выборки и корня объема выборки.

Назначение и свойство стандартной ошибки средней арифметической

Стандартная ошибка средней много, где используется. И очень полезно понимать ее свойства. Посмотрим еще раз на формулу стандартной ошибки средней:

Стандартная ошибка выборочной средней

Числитель – это стандартное отклонение выборки и здесь все понятно. Чем больше разброс данных, тем больше стандартная ошибка средней – прямо пропорциональная зависимость.

Посмотрим на знаменатель. Здесь находится квадратный корень из объема выборки. Соответственно, чем больше объем выборки, тем меньше стандартная ошибка средней. Для наглядности изобразим на одной диаграмме график нормально распределенной переменной со средней равной 10, сигмой – 3, и второй график – распределение средней арифметической этой же переменной, полученной по 16-ти наблюдениям (которое также будет нормальным).

Зависимость стандартной ошибки средней от объем выборки

Судя по формуле, разброс стандартной ошибки средней должен быть в 4 раза (корень из 16) меньше, чем разброс исходных данных, что и видно на рисунке выше. Чем больше наблюдений, тем меньше разброс средней.

Казалось бы, что для получения наиболее точной средней достаточно использовать максимально большую выборку и тогда стандартная ошибка средней будет стремиться к нулю, а сама средняя, соответственно, к математическому ожиданию. Однако квадратный корень объема выборки в знаменателе говорит о том, что связь между точностью выборочной средней и размером выборки не является линейной. Например, увеличение выборки с 20-ти до 50-ти наблюдений, то есть на 30 значений или в 2,5 раза, уменьшает стандартную ошибку средней только на 36%, а со 100-а до 130-ти наблюдений (на те же 30 значений), снижает разброс данных лишь на 12%.

Лучше всего изобразить эту мысль в виде графика зависимости стандартной ошибки средней от размера выборки. Пусть стандартное отклонение равно 10 (на форму графика это не влияет).

Распределение исходных данных и средней

Видно, что примерно после 50-ти значений, уменьшение стандартной ошибки средней резко замедляется, после 100-а – наклон постепенно становится почти нулевым.

Таким образом, при достижении некоторого размера выборки ее дальнейшее увеличение уже почти не сказывается на точности средней. Этот факт имеет далеко идущие последствия. Например, при проведении выборочного обследования населения (опроса) чрезмерное увеличение выборки ведет к неоправданным затратам, т.к. точность почти не меняется. Именно поэтому количество опрошенных редко превышает 1,5 тысячи человек. Точность при таком размере выборки часто является достаточной, а дальнейшее увеличение выборки – нецелесообразным.

Подведем итог. Расчет дисперсии и стандартной ошибки средней имеет довольно простую формулу и обладает полезным свойством, связанным с тем, что относительно хорошая точность средней достигается уже при 100 наблюдениях (в этом случае стандартная ошибка средней становится в 10 раз меньше, чем стандартное отклонение выборки). Больше, конечно, лучше, но бесконечно увеличивать объем выборки не имеет практического смысла. Хотя, все зависит от поставленных задач и цены ошибки. В некоторых опросах участие принимают десятки тысяч людей.

Дисперсия и стандартная ошибка средней имеют большое практическое значение. Они используются в проверке гипотез и расчете доверительных интервалов.

Поделиться в социальных сетях:
  • https://ok.ru/profile/449436008683 Сергей Нколаевич Абанин

    стандая ошибка, нвпример, 0.03 или 1.8 или… есть какая-нибудь количественная градация этой величины?
    Спасибо!

    • Езепов Дмитрий

      Нет. Это величина от 0 до бесконечности и зависит от характера исходных данных. Для интерпретации сравнивается со средней арифметической или другими показателями.

  • Аноним

    Материал просто супер. А то, что он ещё дополнен графическими пояснениями — просто за гранью любых пожеланий.

    Могли бы Вы пояснить вот эту фразу: «Предполагается, что каждое случайное значение xi обладает одинаковым разбросом»?
    Чувствую, что это важно, но не могу уловить.

    • Езепов Дмитрий

      Спасибо за комментарий. Тут правильнее было бы написать, что хi обладают одинаковым распределением. То есть при многократном повторе эксперимента распределение любого хi должно быть примерно одинаковыми. Если я правильно помню теорию математической статистики ))

  • https://www.gate.io/zh/signup/612995 gate io新手任务

    Reading your article has greatly helped me, and I agree with you. But I still have some questions. Can you help me? I will pay attention to your answer. thank you.

  • https://www.shakinthesouthland.com/users/20bet--app.com 20bet

    Your article gave me a lot of inspiration, I hope you can explain your point of view in more detail, because I have some doubts, thank you. 20bet

  • https://casinotologin.com/gatecoin.site_http_output.html nimabi

    Thank you very much for sharing, I learned a lot from your article. Very cool. Thanks. nimabi

  • https://tadalatada.com tadalafil (exilar-sava healthcare) [generic version of cialis] (rx) lowest price

    tadalafil (exilar-sava healthcare) [generic version of cialis] (rx) lowest price

    Стандартная ошибка средней арифметической — statanaliz.info

  • https://essayusserv.com i need help writing my essay

    i need help writing my essay

    Стандартная ошибка средней арифметической — statanaliz.info

  • https://essayzuzi.com scholarship essay writing help

    scholarship essay writing help

    Стандартная ошибка средней арифметической — statanaliz.info

  • https://usessayservwrite.com help writing a essay

    help writing a essay

    Стандартная ошибка средней арифметической — statanaliz.info

  • https://writeessaybizplan.com national honor society essay help

    national honor society essay help

    Стандартная ошибка средней арифметической — statanaliz.info

  • https://essaywriteee.com help me write an essay

    help me write an essay

    Стандартная ошибка средней арифметической — statanaliz.info

  • https://customessaymore.com best writing service reviews

    best writing service reviews

    Стандартная ошибка средней арифметической — statanaliz.info

  • https://bizfarmrx.com online pharmacy free viagra samples

    online pharmacy free viagra samples

    Стандартная ошибка средней арифметической — statanaliz.info

  • https://setcillis.com tadalafil 5mg canada

    tadalafil 5mg canada

    tadalafil 5mg canada

  • https://sildenafilserio.com cheapest brand viagra online

    cheapest brand viagra online

    cheapest brand viagra online

  • https://tadalike.com cialis available in walgreens over counter??

    cialis available in walgreens over counter??

    cialis available in walgreens over counter??

  • https://www.binance.com/ru/register?ref=W0BCQMF1 Создание учетной записи в binance

    Your point of view caught my eye and was very interesting. Thanks. I have a question for you. https://www.binance.com/ru/register?ref=W0BCQMF1

  • https://qvigrassupport.com sildenafil nz buy

    sildenafil nz buy

    sildenafil nz buy

  • https://stcilisyxz.com tadalafil 20

    tadalafil 20

    tadalafil 20

  • https://bactrimsulfamethoxazoleinfo.com bactrim siadh

    bactrim siadh

    bactrim siadh

  • https://flagylmetronidazoleinfo.com metronidazole deodorant

    metronidazole deodorant

    metronidazole deodorant

  • https://inforybelsus.com Keyword Tool Pro provides search volume data for English keywords.

    Keyword Tool Pro provides search volume data for English keywords.

    Keyword Tool Pro provides search volume data for English keywords.

  • https://myrybelsusus.com taking rybelsus for weight loss

    taking rybelsus for weight loss

    taking rybelsus for weight loss

  • https://zoloftnew.com long term effects zoloft

    long term effects zoloft

    long term effects zoloft

  • https://www.binance.com/cs/register?ref=JHQQKNKN bonus pri prihlásení na binance

    Thank you for your sharing. I am worried that I lack creative ideas. It is your article that makes me full of hope. Thank you. But, I have a question, can you help me? https://www.binance.com/cs/register?ref=JHQQKNKN

  • https://cephalexinfds.com/ cephalexin breastfeeding

    cephalexin breastfeeding

    cephalexin breastfeeding

  • https://accounts.binance.com/sv/register?ref=IQY5TET4 Skapa ett gratis konto

    Your article helped me a lot, is there any more related content? Thanks! https://accounts.binance.com/sv/register?ref=IQY5TET4

Комментарии для сайта Cackle
Пролистать наверх