Средняя арифметическая взвешенная

Средняя арифметическая взвешенная – один из самых распространенных статистических показателей, который от средней арифметической простой отличается лишь способом расчета, но не сутью и интерпретацией.

Впервые со средней арифметической взвешенной, сам того не зная, я столкнулся еще в 9 классе. Дело было так. Как-то решал задачу по физике примерно такого содержания. Между пунктами А и Б расстояние S, которые автомобиль проехал со скоростью 50 км/ч. В обратную сторону этот автомобиль поддал газку и промчался уже со скоростью 100 км/ч. Картинка по условию задачи примерно такая.

Условие задачи про среднюю взвешенную

Условие задачи крайне простое. Вопрос: какова была средняя скорость движения автомобиля из пункта А в пункт Б и обратно? Подавляющие большинство людей, которым предлагается решить эту задачку, сообщают ответ – 75 км/ч. Это неправильный ответ. Средняя скорость по определению – это все пройденное расстояние деленное на все потраченное время (согласно учебнику по физике). В нашем случае все расстояние – это S + S = 2*S (туда и обратно), все время складывается из времени из А в Б и из Б в А. Зная скорость и расстояние, время найти элементарно. Исходная формула для нахождения средней скорости имеет вид:

Формула средней скорости

То есть все расстояние, на все время.

Теперь преобразуем формулу до удобного вида.

Расчет средней скорости

Подставив наши значения, получим

Средняя взвешенная скорость

Правильный ответ: средняя скорость автомобиля составила 66,7 км/ч.

Согласимся, между 75 и 66,7 есть некоторая разница. Вначале казалось, что все элементарно и можно посчитать в уме, а тут на тебе – облом.

Оно и есть все элементарно, только нужно понимать, что из чего мы пытаемся найти. В наличии имеются две скорости, из которых нужно посчитать среднюю. Определение средней скорости я уже писал – все расстояние на все время, а это совсем то же самое, что сложение двух скоростей и деление на два.

Дело в том, что скорость – это расчетный показатель, который нельзя складывать, как расстояние или время. Ну, сами подумайте, как можно сложить километры в час? Километры можно, часы можно, а километры в час нельзя. Это противоречит здравому смыслу (если мы не складываем векторы). Также нельзя складывать рентабельности, производительности, эффективности и другие расчетные показатели, так как в их суммировании нет логического смысла.

Чтобы разобраться в ситуации, необходимо вспомнить, что такое средняя величина с точки зрения логики и математики. Это обобщающая характеристика показателя, которая получается следующим образом: суммарный эффект (суммарное значение) показателя соотносится с размером совокупности данных. Этот принцип универсальный. Если мы имеем дело с корзиной яблок, то все просто. Суммарный эффект – это масса корзинки с яблоками, размер совокупности данных – количество яблок. Средняя масса яблока – одно делится на другое. Но есть показатели, когда при их сложении суммарный эффект не получается. К примеру, суммарная рентабельность двух предприятий – это не сумма их рентабельностей. Суммарная стоимость проданных товаров – это не сумма их цен. Суммарное расстояние – это, соответственно, не сумма скоростей. В общем, для корректного расчета средней величины нужно вначале найти суммарное значение показателя и затем соотнести его с размером анализируемой выборки. Это простое правило распространяется на расчет абсолютно любого показателя средней арифметической. Другое дело, что для нахождения суммирующего эффекта имеющиеся в наличии показатели не всегда можно просто сложить. Например, чтобы из рентабельностей получить общую прибыль, их предварительно нужно умножить на сумму затрат, чтобы из цен получить общую стоимость, их нужно умножить на физическое количество товаров, чтобы из скоростей найти суммарное расстояние, их нужно умножить на время. Для нахождения средних величин полученные суммы нужно разделить соответственно на сумму затрат, общее физическое количество товаров и общее время. Другими словами, имеющиеся показатели вначале нужно умножить на определенные веса, полученные произведения сложить и затем разделить на сумму этих весов.

Средняя величина, рассчитанная подобным образом, называется средней арифметической взвешенной. Суть средней взвешенной абсолютно такая же, как и у средней простой.

Среднюю взвешенную применяют не только к расчетным данным, которые невозможно сложить, но и к сгруппированным данным. Логика расчета остается той же: считается суммарный показатель и делится на общее количество значений в совокупности (сумму весов). В качестве веса используется количество значений в каждой группе. Надеюсь, с примерами все понятно, поэтому перейдем к формальной части и конкретным расчетам.

Формула средней арифметической взвешенной имеет вид:

Формул средней арифметической взвешенной

где x – анализируемый показатель; f – вес.

Примечание. Расчет средней арифметической взвешенной в Excel.

Как я и говорил, в числителе рассчитывается суммарное значение показателя. То есть каждое значение умножается на так называемый вес и затем все складывается. Полученная сумма делится на сумму весов.

Приведу пару примеров. Имеются сгруппированные данные о ценах (x, руб.) и продажах (f, шт.) трех групп товаров. Каждая группа – это товары с определенной ценой и количеством. Данные в таблице ниже.

Данные для расчета средней арифметической взвешенной

Требуется определить среднюю цену проданного товара.

Как несложно догадаться, средняя цена – это стоимость всех проданных товаров, разделенная на их физическое количество. У нас нет общей стоимости, но есть цены и количества. Поэтому для расчета следует использовать формулу средней арифметической взвешенной, где в качестве анализируемого показателя x будет цена, а в качестве веса f – физическое количество проданного товара. Расчет получится следующим:

Еще один расчет средней арифметической взвешенной

Средняя цена проданной единицы товара составит 65 рублей (а не 73 руб., как многие посчитали бы, если сложить все цены и разделить на три).

Иногда вес показателю может добавляться искусственно. К примеру, тестируются различные автомобили по нескольким параметрам (безопасность, комфорт и проч.). Для того, чтобы сравнивать различные автомобили между собой нужно получить обобщающую среднюю оценку. Но разные параметры имеют разную важность. Комфорт и безопасность может быть важнее расхода топлива или наличия «наворотов». В этом случае каждому параметру присваивается некоторый вес, чтобы более важные характеристики в большей степени влияли на общую оценку, а менее важные, но все же имеющие значение, оказывали меньшее влияние. Расчет производится по той же формуле средней взвешенной.

Итак, из данной статьи следует усвоить следующее.

1. Средняя арифметическая взвешенная суть одно и то же, что и средняя арифметическая простая.

2. При расчете средней взвешенной величины используются веса, которые в числителе формулы позволяют получить суммирующий показатель.

3. В знаменателе формулы берется сумма весов.

На сегодня все. До новых встреч на страницах блога statanaliz.info.

Поделиться в социальных сетях:
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •