Дисперсия, среднеквадратичное (стандартное) отклонение, коэффициент вариации в Excel - statanaliz.info

Дисперсия, среднеквадратичное (стандартное) отклонение, коэффициент вариации в Excel

Из предыдущей статьи мы узнали о таких показателях, как размах вариации, межквартильный размах и среднее линейное отклонение. В этой статье изучим дисперсию, среднеквадратичное отклонение и коэффициент вариации.

Дисперсия

Дисперсия случайной величины – это один из основных показателей в статистике. Он отражает меру разброса данных вокруг средней арифметической.

Сейчас небольшой экскурс в теорию вероятностей, которая лежит в основе математической статистики. Как и матожидание, дисперсия является важной характеристикой случайной величины. Если матожидание отражает центр случайной величины, то дисперсия дает характеристику разброса данных вокруг центра.

Формула дисперсии в теории вероятностей имеет вид:

Формула дисперсии в теории вероятностей

То есть дисперсия — это математическое ожидание отклонений от математического ожидания.

На практике при анализе выборок математическое ожидание, как правило, не известно. Поэтому вместо него используют оценку – среднее арифметическое. Расчет дисперсии производят по формуле:

Дисперсия во выборке

где

s2 – выборочная дисперсия, рассчитанная по данным наблюдений,

X – отдельные значения,

– среднее арифметическое по выборке.

Стоит отметить, что у такого расчета дисперсии есть недостаток – она получается смещенной, т.е. ее математическое ожидание не равно истинному значению дисперсии. Подробней об этом здесь. Однако при увеличении объема выборки она все-таки приближается к своему теоретическому аналогу, т.е. является асимптотически не смещенной.

Простыми словами дисперсия – это средний квадрат отклонений. То есть вначале рассчитывается среднее значение, затем берется разница между каждым исходным и средним значением, возводится в квадрат, складывается и затем делится на количество значений в данной совокупности. Разница между отдельным значением и средней отражает меру отклонения. В квадрат возводится для того, чтобы все отклонения стали исключительно положительными числами и чтобы избежать взаимоуничтожения положительных и отрицательных отклонений при их суммировании. Затем, имея квадраты отклонений, просто рассчитываем среднюю арифметическую. Средний – квадрат – отклонений. Отклонения возводятся в квадрат, и считается средняя. Теперь вы знаете, как найти дисперсию.

Расчет дисперсии в Excel

Генеральную и выборочную дисперсии легко рассчитать в Excel. Есть специальные функции: ДИСП.Г и ДИСП.В соответственно.

Функции Excel для расчета дисперсии

В чистом виде дисперсия не используется. Это вспомогательный показатель, который нужен в других расчетах. Например, в проверке статистических гипотез или расчете коэффициентов корреляции. Отсюда неплохо бы знать математические свойства дисперсии.

Свойства дисперсии

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины A равна 0 (нулю).

D(A) = 0

Свойство 2. Если случайную величину умножить на постоянную А, то дисперсия этой случайной величины увеличится в А2 раз. Другими словами, постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат.

D(AX) = А2 D(X)

Свойство 3. Если к случайной величине добавить (или отнять) постоянную А, то дисперсия останется неизменной.

D(A + X) = D(X)

Свойство 4. Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий.

D(X+Y) = D(X) + D(Y)

Свойство 5. Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия их разницы также равна сумме дисперсий.

D(X-Y) = D(X) + D(Y)

Среднеквадратичное (стандартное) отклонение

Если из дисперсии извлечь квадратный корень, получится среднеквадратичное (стандартное) отклонение (сокращенно СКО). Встречается название среднее квадратичное отклонение и сигма (от названия греческой буквы). Общая формула стандартного отклонения в математике следующая:

Среднеквадратичное отклонение

На практике формула стандартного отклонения следующая:

 

Среднеквадратичное отклонение по генеральной совокупности

Как и с дисперсией, есть и немного другой вариант расчета. Но с ростом выборки разница исчезает.

Расчет cреднеквадратичного (стандартного) отклонения в Excel

Для расчета стандартного отклонения достаточно из дисперсии извлечь квадратный корень. Но в Excel есть и готовые функции: СТАНДОТКЛОН.Г и СТАНДОТКЛОН.В (по генеральной и выборочной совокупности соответственно).

Среднеквадратичное (стандартное) отклонение в Excel

Среднеквадратичное отклонение имеет те же единицы измерения, что и анализируемый показатель, поэтому является сопоставимым с исходными данными.

Коэффициент вариации

Значение стандартного отклонения зависит от масштаба самих данных, что не позволяет сравнивать вариабельность разных выборках. Чтобы устранить влияние масштаба, необходимо рассчитать коэффициент вариации по формуле:

Формула коэффициента вариации

По нему можно сравнивать однородность явлений даже с разным масштабом данных. В статистике принято, что, если значение коэффициента вариации менее 33%, то совокупность считается однородной, если больше 33%, то – неоднородной. В реальности, если коэффициент вариации превышает 33%, то специально ничего делать по этому поводу не нужно. Это информация для общего представления. В общем коэффициент вариации используют для оценки относительного разброса данных в выборке.

Расчет коэффициента вариации в Excel

Расчет коэффициента вариации в Excel также производится делением стандартного отклонения на среднее арифметическое:

=СТАНДОТКЛОН.В()/СРЗНАЧ()

Коэффициент вариации обычно выражается в процентах, поэтому ячейке с формулой можно присвоить процентный формат:

Процентный формат

Коэффициент осцилляции

Еще один показатель разброса данных на сегодня – коэффициент осцилляции. Это соотношение размаха вариации (разницы между максимальным и минимальным значением) к средней. Готовой формулы Excel нет, поэтому придется скомпоновать три функции: МАКС, МИН, СРЗНАЧ.

Коэффициент осцилляции в Excel

Коэффициент осцилляции показывает степень размаха вариации относительно средней, что также можно использовать для сравнения различных наборов данных.

Таким образом, в статистическом анализе существует система показателей, отражающих разброс или однородность данных. 

Ниже видео о том, как посчитать коэффициент вариации, дисперсию, стандартное (среднеквадратичное) отклонение и другие показатели вариации в Excel.

Онлайн курс

Статистика в MS Excel

Корпоративный тренинг

Статистика в MS Excel

Поделиться в социальных сетях:
  • Аноним

    Спасибо! Читал с огромным удовольствием, жаль что таких учителей на всех не хватает…

  • Аноним

    Различаются ли величины среднего линейного отклонения и среднего квадратического отклонения? Если да — то почему?

  • Аноним

    Стандартная ошибка и стандартное отклонение это одно и то же?

  • Аноним

    Подскажите, как можно характеризовать величину, у которой стандартное отклонение равно или больше, чем матожидания?

    • Езепов Дмитрий

      Никак. Одно от другого не зависит.

      • Аноним

        Простите, то есть как? Ведь они вычисляются из одной и той же совокупности… Тогда логично предположить, что если значение ср кв отклонения близко к матожиданию (посчитанному как ср арфметическое), то такое матожидание следует считать ненадежным и для расчетов лучше его уточнить (с помощью моды/медианы, удаления из выборки резко выбивающихся значений)… Просто в качестве аналогии про себя имел в виду одно из свойств распределения Пуассона, в котором матож равно дисперсии, и потому такие величины крайне трудно предсказуемы.

        • Езепов Дмитрий

          Стандартное отклонение — это разброс, среднее арифметическое — это характеристика положения распределения. Соотношение стандартного отклонения к средней называется коэффициентом вариации. Некоторые считают, что если коэффициент вариации больше 0,33, то совокупность является неоднородной. Другие интерпретации соотношения стандартного отклонения и средней мне не известны. Надежность определяется типом распределения и доверительным интервалом. Выбросы, да, лучше удалить.

  • Аноним

    Может быть, в формулу расчёта коэффициента вариации стоит добавить 100 %? Тем более, далее по тексту идет речь о процентах.

    • Езепов Дмитрий

      Да, спасибо за замечание. Нужно будет добавить.

      • Дмитрий Ерещенко

        И все таки коэффициент вариации по формуле: V=(S/X) умножаем 100% ? и конечная формула принимает вид V=(S/X) *100% так? Для меня это важно, пытаюсь доказать не верный результат расчетов. Так как в предоставленных расчетах коэффициента вариации (без умножения на 100%) результат не бывает больше единицы (33%), мои оппоненты утверждают, что совокупность выборки однородная!

  • Demart Lectus

    Почему мы берём именно квадрат стандартного отклонения для дисперсии вместо того, чтобы его взять по модулю?

  • https://www.gate.io/zh-tw/signup/612995 gate io 交易所

    好文章!你的文章对我帮助非常大。谢谢!你赞同我这么做吗?我想把你的文章分享到我的网站:
    gate io 交易所

  • https://rebrand.ly/kopaprediksijitu perdiksi togel hari ini

    I truly appreciate your technique of writing a blog. I added it to my bookmark site list and will

  • https://www.loginbambu4d.xyz/ bambu4d login

    I really like reading through a post that can make men and women think. Also, thank you for allowing me to comment!

  • https://bigchurch.xyz/pgsoft.html demo slot pg soft

    Very well presented. Every quote was awesome and thanks for sharing the content. Keep sharing and keep motivating others.

  • https://bigchurch.xyz/habanero.html demo slot habanero

    I am truly thankful to the owner of this web site who has shared this fantastic piece of writing at at this place.

  • https://bigchurch.xyz/ demo slot

    I’m often to blogging and i really appreciate your content. The article has actually peaks my interest. I’m going to bookmark your web site and maintain checking for brand spanking new information.

Комментарии для сайта Cackle
Пролистать наверх

40 приемов и трюков Excel

Чтобы работать, как профессионал

Конфиденциальность данных гарантирована.
Никакого спама.