Среднее арифметическое

Среднее арифметичесчкое значение — самый известный статистический показатель. В этой заметке рассмотрим смысл этого показателя, в том числе на физическом примере, формулы расчета и свойства.

Физический смысл средней арифметической

Наглядное и образное представление всегда идет на пользу пониманию предмета. Представим, что имеется спица, на которой в разных местах нанизаны грузики различной массы.

Физический смысл средней арифметической

Как отыскать центр тяжести? Центр тяжести – это такая точка, за которую можно ухватиться, и спица при этом останется в горизонтальном положении и не будет переворачиваться под действием закона всемирного тяготения. Она должна быть в центре всех масс, чтобы силы слева равнялись силам справа. Для нахождения точки равновесия следует рассчитать среднее арифметическое взвешенное расстояний от начала спицы до каждого грузика. Весами будут выступать массы грузиков (mi), что в прямом смысле слова будет соответствовать понятию веса. Т.о. среднее арифметическое расстояние – это центр равновесия системы, когда силы с одной стороны точки уравновешивают силы с другой стороны.

Средняя арифметическая как оценка математического ожидания

Теория вероятностей занимается изучением случайных величин. Для этого строятся различные характеристики, описывающие их поведение. Одной из основных характеристик случайной величины является математическое ожидание, являющееся своего рода центром, вокруг которого группируются остальные значения.

Формула матожидания имеет следующий вид:

Формула математического ожидания

где M(X) – математическое ожидание

xi – это случайные величины

pi – их вероятности.

То есть, математическое ожидание случайной величины — это взвешенная сумма значений случайной величины, где веса равны соответствующим вероятностям.

К примеру, если рассчитать математическое ожидание суммы очков при бросании двух игральных костей, то получится число 7. Но это мы точно знаем все возможные значения и их вероятности. А что делать, если такой информации нет? Есть только результат некоторых наблюдений. Как быть? В дело вступает статистика, которая позволяет получить приблизительное значение матожидания, то есть оценить его по имеющимся данным.

Математическая статистика предоставляет несколько вариантов оценки математического ожидания. Основное среди них – среднее арифметическое, обладающие рядом полезных свойств. Например, среднее арифметическое – это несмещенная оценка, т.е. матожидание средней равно оцениваемому математическому ожиданию.

Итак, среднее арифметическое значение рассчитывается по формуле, которая известна любому школьнику.

Формула средней арифметической простой

где xi – значения переменной,
n – количество значений.

Если исходные данные каким-либо образом сгруппированы, то используют формулу средней арифметической взвешенной, где каждое значение переменной x умножается на свой вес f, и которая имеет чуть более сложный вид, но фактически ту же суть:

Формула средней арифметической взвешенной

Словами можно сказать, что среднее арифметическое – это соотношение суммы значений по некоторому показателю с количеством таких значений (наблюдений). Следует отметить, что общим видом формулы является формула средней арифметической взвешенной. В то время, как средняя арифметическая простая – это частный случай, когда веса для всех значений равны 1 (единице). В этом случае нет необходимости умножать значения на веса (в числителе), а сумма весов равна их же количеству (в знаменателе). Как следствие формулу средней арифметической простой можно записать в сокращенном виде (см. первую формулу).

Взаимозависимость средней арифметической, суммы и количества

Теперь предлагаю посмотреть на формулу под разными углами зрения. С одной стороны, среднее – это соотношение суммы и количества. С другой стороны, зная среднюю, можно рассчитать сумму или количество в зависимости от наличия второго показателя.

Очевидно, что из формулы средней арифметической (для удобства возьмем простую) можно легко получить зависимость суммарного значения показателя от его средней и количества:

Сумма равна произведению средней и количества

Данным произведением все мы пользуемся чуть не каждый день, даже не задумываясь. Например, цена 1 кг яблок – это стоимость за 1 кг, то есть не что иное, как средняя арифметическая. А сколько будет стоить 3 кг яблок? Правильно, нужно цену умножить на количество.

Точно также легко можно вывести любую другую сумму показателя, зная его среднюю арифметическую и количество. Это соотношение весьма полезно использовать, когда у нас нет возможности получить среднюю из анализируемого объема данных, но это известно из другого источника. Например, та же цена. Она указана на ценнике. Но зная необходимое количество, можно рассчитать сумму денег, с которой придется расстаться (заполучить) в случае покупки (продажи).

А вот другой пример. Получив среднюю арифметическую по некоторой выборке, несложно рассчитать суммарное значение показателя по генеральной совокупности. Так, оценив по выборке средний (арифметический) доход населения, легко выйти на общий доход по стране. Зная среднюю урожайность, несложно прикинуть общий объем урожая на определенной площади посевов. И так далее и тому подобное.

Рассматривая формулу средней арифметической дальше, выразим теперь третью переменную в этой формуле – количество единиц совокупности.

Количество равно делению суммы на среднюю

Например, стоит задача купить конфет на все имеющиеся в наличии 10 рублей при цене 2 рубля за штуку. Сколько получится? Очевидно, 10/2=5.

Функциональная взаимосвязь между средней арифметической, суммой и количеством дают ей неоспоримое преимущество перед другими показателями центральной тенденции – модой и медианой. Хотя в некоторых случаях из-за неоднородности данных вместо средней арифметической приходится использовать т.н. робастные (т.е. устойчивые к выбросам) оценки центральной тенденции (например, медиану или усеченное среднее). Но чаще среднее арифметическое используется по умолчанию.

Свойства средней арифметической (математического ожидания)

{module 111}

Теперь рассмотрим свойства средней арифметической, которые часто используются при алгебраических манипуляциях. Правильней будет вновь вернутся к термину математического ожидания, т.к. именно его свойства приводят в учебниках.

Матожидание в русскоязычной литературе обычно обозначают как M(X), в иностранных учебниках можно увидеть E(X). Встречается обозначение греческой буквой μ (читается «мю»). Для удобства предлагаю вариант M(X).

Итак, свойство 1. Если имеются переменные X, Y, Z, то математическое ожидание их суммы равно сумме их математических ожиданий. Действует такое равенство.

M(X+Y+Z) = M(X) + M(Y) + M(Z)

Допустим, среднее время, затрачиваемое на мойку автомобиля M(X) равно 20 минут, а на подкачку колес M(Y) – 5 минут. Тогда общее среднее арифметическое время на мойку и подкачку составит M(X+Y) = M(X) + M(Y) = 20 + 5 = 25 минут.

Свойство 2. Если переменную (т.е. каждое значение переменной) умножить на постоянную величину (a), то математическое ожидание такой величины будет равно произведению матожидания переменной и этой константы. Формально выражаясь, имеет место равенство.

M(aX) = aM(X)

К примеру, среднее время мойки одной машины M(X) 20 минут. Тогда среднее время мойки двух машин a составит M(aX) = aM(X) = 2*20 = 40 минут.

Свойство 3. Математическое ожидание постоянной величины (а) есть сама эта величина (а).

M(a) = a

Если установленная стоимость мойки легкового автомобиля равна 100 рублей, то средняя стоимость мойки, рассчитанная по нескольким автомобилям, так же равна 100 рублей.

Свойство 4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

M(XY) = M(X)M(Y)

Автомойка за день в среднем обслуживает 50 автомобилей (X). Мойка бывает разная, но ее средняя стоимость равна 100 рублей (Y). Тогда средняя выручка автомойки в день M(XY) равна произведеню среднего количества M(X) на средний тариф M(Y), т.е. 50*100 = 500 рублей.

Через эти свойства выведены множество других формул. Например, альтернативный вариант расчета дисперсии. Кстати, о дисперсии. В ней используется еще одно свойство средней арифметической (или математического ожидания). Оно заключается в том, что сумма квадратов отклонений всех значений от их средней арифметической, всегда меньше, чем от любого другого числа. Здесь для сравнения неплохо вспомнить свойство медианы.

И последнее. В русском языке так сложилось, что под словом «средний» обычно понимают именно среднее арифметическое. То есть моду и медиану как-то не принято называть средним значением. А вот на английском языке слово «средний» (average) может трактоваться и как среднее арифметическое (mean), и как мода (mode), и как медиана (median). Так что при чтении иностранной литературы следует быть бдительным. По этому поводу есть даже специальная статистическая загадка, с которой можно ознакомиться в статье о медиане.

Засим спешу откланяться. Надеюсь, мой скромный опус оказался познавательным и интересным для чтения.

Будьте здоровы!

Поделиться в социальных сетях:
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •