Среднее геометрическое чисел – формула и примеры

Средние величины в статистике играют важную роль, т.к. они позволяют получить обобщающую характеристику анализируемого явления. Самая распространенная средняя это, конечно, среднее арифметическое. Она имеет место тогда, когда агрегирующий показатель образуется с помощью суммы элементов. Например, масса нескольких яблок, суммарная выручка за каждый день продаж и т.д. Но так бывает не всегда. Иногда агрегатный показатель образуется не в результате суммирования, а в результате других математических операций.

Рассмотрим следующий пример. Месячная инфляция – это изменение уровня цен одного месяца по сравнению с предыдущим. Если известны показатели инфляции за каждый месяц, то как получить годовое значение? С точки зрения статистики – это цепной индекс, поэтому правильный ответ: с помощью перемножения месячных показателей инфляции. То есть общий показатель инфляции – это не сумма, а произведение. А как теперь узнать среднюю инфляцию за месяц, если имеется годовое значение? Нет, не разделить на 12, а извлечь корень 12-й степени (степень зависит от количества множителей). В общем случае среднее геометрическое рассчитывается по формуле:

Формула средней геометрической

То есть это корень из произведения исходных данных, где степень определяется количеством множителей. Для примера, среднее геометрическое из двух чисел – это квадратный корень из их произведения

Среднее геометрическое двух чисел

из трех чисел – кубический корень из произведения

Среднее геометрическое трех чисели т.д.

Если каждое исходное число заменить на их среднее геометрическое, то произведение даст тот же результат.

Чтобы лучше разобраться, что такое средняя геометрическая и чем она отличается от арифметической, рассмотрим следующий рисунок. Имеется прямоугольный треугольник, вписанный в круг.

Наглядное изображение средней геометрической

Из прямого угла опущена медиана a (на середину гипотенузы). Также из прямого угла опущена высота b, которая в точке P делит гипотенузу на две части m и n. Т.к. гипотенуза – это диаметр описанного круга, а медиана – радиус, то очевидно, что длина медианы a – это среднее арифметическое из m и n.

Длина медианы - среднее арифмтическое

Рассчитаем, чему равна высота b. В силу подобия треугольников АВP и BCP справедливо равенство

Соотношение сторон в подобных треугольниках

Откуда

Высота треугольника - среднее геометрическое

То есть высота прямоугольного треугольника – это среднее геометрическое из отрезков, на которые она разбивает гипотенузу. Такое наглядное отличие.

В MS Excel среднюю геометрическую можно найти с помощью функции СРГЕОМ.

Функция СРГЕОМ в Excel для расчета средней геометрической

Все очень просто: вызвали функцию, указали диапазон и готово.

На практике этот показатель используют не так часто, как среднее арифметическое, но все же встречается. Например, есть такой индекс развития человеческого потенциала, с помощью которого сравнивают уровень жизни в разных странах. Он рассчитывается, как среднее геометрическое из нескольких индексов.

Бывают и другие средние величины. О них в другой раз.

Поделиться в социальных сетях:
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •