Среднее геометрическое чисел – формула и примеры

Средние величины в статистике играют важную роль, т.к. они позволяют получить обобщающую характеристику анализируемого явления. Самая распространенная средняя это, конечно, среднее арифметическое, которое имеет место тогда, когда агрегатный показатель образуется с помощью суммы элементов. Например, масса нескольких яблок, суммарная выручка за каждый день продаж и т.д. Но так бывает не всегда. Иногда агрегатный показатель образуется не в результате суммирования, а в результате других математических операций.

Рассмотрим следующий пример. Месячная инфляция – это изменение уровня цен одного месяца по сравнению с предыдущим. Если известны показатели инфляции за каждый месяц, то как получить годовое значение? С точки зрения статистики – это цепной индекс, поэтому правильный ответ: с помощью перемножения месячных показателей инфляции. То есть общий показатель инфляции – это не сумма, а произведение. А как теперь узнать среднюю инфляцию за месяц, если имеется годовое значение? Нет, не разделить на 12, а извлечь корень 12-й степени (степень зависит от количества множителей). В общем случае среднее геометрическое рассчитывается по формуле:

Формула средней геометрической

То есть корень из произведения исходных данных, где степень определяется количеством множителей. Для примера, среднее геометрическое из двух чисел – это квадратный корень из их произведения

Среднее геометрическое двух чисел

из трех чисел – кубический корень из произведения

Среднее геометрическое трех чисел и т.д.

Если каждое исходное число заменить на их среднее геометрическое, то произведение даст тот же результат.

Чтобы лучше разобраться, что такое средняя геометрическая и чем она отличается от арифметической, рассмотрим следующий рисунок. Имеется прямоугольный треугольник, вписанный в круг.

Наглядное изображение средней геометрической

Из прямого угла опущена медиана a (на середину гипотенузы). Также из прямого угла опущена высота b, которая в точке P делит гипотенузу на две части m и n. Т.к. гипотенуза – это диаметр описанного круга, а медиана – радиус, то очевидно, что длина медианы a – это среднее арифметическое из m и n.

Длина медианы - среднее арифмтическое

Рассчитаем, чему равна высота b. В силу подобия треугольников АВP и BCP справедливо равенство

Соотношение сторон в подобных треугольниках

Откуда

Высота треугольника - среднее геометрическое

Значит, высота прямоугольного треугольника – это среднее геометрическое из отрезков, на которые она разбивает гипотенузу. Такое наглядное отличие.

В MS Excel среднюю геометрическую можно найти с помощью функции СРГЕОМ.

Функция СРГЕОМ в Excel для расчета средней геометрической

Все очень просто: вызвали функцию, указали диапазон и готово.

На практике этот показатель используют не так часто, как среднее арифметическое, но все же встречается. Например, есть такой индекс развития человеческого потенциала, с помощью которого сравнивают уровень жизни в разных странах. Он рассчитывается, как среднее геометрическое из нескольких индексов.

Поделиться в социальных сетях:
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •