Биномиальное распределение случайной величины

Приветствую всех читателей!

Статистический анализ, как известно, занимается сбором и обработкой реальных данных. Дело полезное, а зачастую и выгодное, т.к. правильные выводы позволяют избежать ошибок и потерь в будущем, а иногда и правильно угадать это самое будущее. Собранные данные отражают состояние некоторого наблюдаемого явления. Данные часто (но не всегда) имеют числовой вид и с ними можно проделывать различные математические манипуляции, извлекая тем самым дополнительную информацию.

Однако не все явления измеряются в количественной шкале типа 1, 2, 3 … 100500 … Не всегда явление может принимать бесконечное или большое количество различных состояний. Например, пол у человека может быть либо М, либо Ж. Стрелок либо попадает в цель, либо не попадает. Голосовать можно либо «За», либо «Против» и т.д. и т.п. Другими словами, такие данные отражают состояние альтернативного признака – либо «да» (событие наступило), либо «нет» (событие не наступило). Наступившее событие (положительный исход) еще называют «успехом». Такие явления также могут носить массовый и случайный характер. Следовательно, их можно измерять и делать статистически обоснованные выводы.

Эксперименты с такими данными называются схемой Бернулли, в честь известного швейцарского математика, который установил, что при большом количестве испытаний соотношение положительных исходов и общего количества испытаний стремится к вероятности наступления этого события.

Переменная альтернативного признака

Для того, чтобы в анализе задействовать математический аппарат, результаты подобных наблюдений следует записать в числовом виде. Для этого положительному исходу присваивают число 1, отрицательному – 0. Другими словами, мы имеем дело с переменной, которая может принимать только два значения: 0 или 1.

Какую пользу отсюда можно извлечь? Вообще-то не меньшую, чем от обычных данных. Так, легко подсчитать количество положительных исходов – достаточно просуммировать все значения, т.е. все 1 (успехи). Можно пойти далее, но для этого потребуется ввести парочку обозначений.

Первым делом нужно отметить, что положительные исходы (которые равны 1) имеют некоторую вероятность появления. Например, выпадение орла при подбрасывании монеты равно ½ или 0,5. Такая вероятность традиционно обозначается латинской буквой p. Следовательно, вероятность наступления альтернативного события равна 1 — p, которую еще обозначают через q, то есть q = 1 – p. Указанные обозначения можно наглядно систематизировать в виде таблички распределения переменной X.

Распределение альтернативного признака

Теперь у нас есть перечень возможных значений и их вероятности. Можно приступить к расчету таких замечательных характеристик случайной величины, как математическое ожидание и дисперсия. Напомню, что математическое ожидание рассчитывается, как сумма произведений всех возможных значений на соответствующие им вероятности:

Формула математического ожидания

Вычислим матожидание, используя обозначения в таблицы выше.

Математическое ожидание альтернативного признака

Получается, что математическое ожидание альтернативного признака равно вероятности этого события – p.

Теперь определим, что такое дисперсия альтернативного признака. Также напомню, что дисперсия – есть средний квадрат отклонений от математического ожидания. Общая формула (для дискретных данных) имеет вид:

Формула дисперсии для дискретных данных

Отсюда дисперсия альтернативного признака:

Дисперсия альтернативного признака

Нетрудно заметить, что эта дисперсия имеет максимум 0,25 (при p=0,5).

Среднее квадратическое отклонение – корень из дисперсии:

Среднее квадратическое отклонение альтернативного признака

Максимальное значение не превышает 0,5.

Как видно, и математическое ожидание, и дисперсия альтернативного признака имеют очень компактный вид.

Биномиальное распределение случайной величины

Теперь рассмотрим ситуацию под другим углом. Действительно, кому интересно, что среднее выпадение орлов при одном бросании равно 0,5? Это даже невозможно представить. Интересней поставить вопрос о числе выпадения орлов при заданном количестве подбрасываний.

Другими словами, исследователя часто интересует вероятность наступления некоторого числа успешных событий. Это может быть количество бракованных изделий в проверяемой партии (1- бракованная, 0 — годная) или количество выздоровлений (1 – здоров, 0 – больной) и т.д. Количество таких «успехов» будет равно сумме всех значений переменной X, т.е. количеству единичных исходов.

Биномиальная переменная

Случайная величина B называется биномиальной и принимает значения от 0 до n (при B = 0 — все детали годные, при B = n – все детали бракованные). Предполагается, что все значения x независимы между собой. Рассмотрим основные характеристики биномиальной переменной, то есть установим ее математическое ожидание, дисперсию и распределение.

Матожидание биномиальной переменной получить очень легко. Вспомним, что математическое ожидание суммы величин есть сумма математических ожиданий каждой складываемой величины, а оно у всех одинаковое, поэтому:

Математическое ожидание биномиальной переменной

Например, математическое ожидание количества выпавших орлов при 100 подбрасываниях равно 100 × 0,5 = 50.

Теперь выведем формулу дисперсии биномиальной переменной. Дисперсия суммы независимых случайных величин есть сумма дисперсий. Отсюда

Дисперсия биномиальной переменной

Среднее квадратическое отклонение, соответственно

Среднее квадратическое отклонение биномиальной переменной

Для 100 подбрасываний монеты среднеквадратическое отклонение равно

Среднее квадратическое отклонение для 100 подкидываний монеты

И, наконец, рассмотрим распределение биномиальной величины, т.е. вероятности того, что случайная величина B будет принимать различные значения k, где 0≤ k ≤n. Для монеты эта задача может звучать так: какова вероятность выпадения 40 орлов при 100 бросках?

Чтобы понять метод расчета, представим, что монета подбрасывается всего 4 раза. Каждый раз может выпасть любая из сторон. Мы задаемся вопросом: какова вероятность выпадения 2 орлов из 4 бросков. Каждый бросок независим друг от друга. Значит, вероятность выпадения какой-либо комбинации будет равна произведению вероятностей заданного исхода для каждого отдельного броска. Пусть О – это орел, Р – решка. Тогда, к примеру, одна из устраивающих нас комбинаций может выглядеть как ООРР, то есть:

Комбинация выпадения 2 орлов при 4 выбрасываниях монеты

Вероятность такой комбинации равняется произведению двух вероятностей выпадения орла и еще двух вероятностей не выпадения орла (обратное событие, рассчитываемое как 1 — p), т.е. 0,5×0,5×(1-0,5)×(1-0,5)=0,0625. Такова вероятность одной из устраивающих нас комбинации. Но вопрос ведь стоял об общем количестве орлов, а не о каком-то определенном порядке. Тогда нужно сложить вероятности всех комбинаций, в которых присутствует ровно 2 орла. Ясно, все они одинаковы (от перемены мест множителей произведение не меняется). Поэтому нужно вычислить их количество, а затем умножить на вероятность любой такой комбинации. Подсчитаем все варианты сочетаний из 4 бросков по 2 орла: РРОО, РОРО, РООР, ОРРО, ОРОР, ООРР. Всего 6 вариантов.

6 варианта выпадения 2 орлов после 4 подбрасываний монеты

Следовательно, искомая вероятность выпадения 2 орлов после 4 бросков равна 6×0,0625=0,375.

Однако подсчет подобным образом утомителен. Уже для 10 монет методом перебора получить общее количество вариантов будет очень трудно. Поэтому умные люди давно изобрели формулу, с помощью которой рассчитывают количество различных сочетаний из n элементов по k, где n – общее количество элементов, k – количество элементов, варианты расположения которых и подсчитываются. Формула сочетания из n элементов по k такова:

Формула сочетания из n по k

Подобные вещи проходят в разделе комбинаторики. Всех желающих подтянуть знания отправляю туда. Отсюда, кстати, и название биномиального распределения (формула выше является коэффициентом в разложении бинома Ньютона).

Формулу для определения вероятности легко обобщить на любое количество n и k. В итоге формула биномиального распределения имеет следующий вид.

Формула биномиального распределения

Словами: количество подходящих под условие комбинаций умножить на вероятность одной из них.

Для практического использования достаточно просто знать формулу биномиального распределения. А можно даже и не знать – ниже показано, как определить вероятность с помощью Excel. Но лучше все-таки знать.

Рассчитаем по этой формуле вероятность выпадения 40 орлов при 100 бросках:

Расчет 40 орлов

Или всего 1,08%. Для сравнения вероятность наступления математического ожидания этого эксперимента, то есть 50 орлов, равна 7,96%. Максимальная вероятность биномиальной величины принадлежит значению, соответствующему математическому ожиданию.

Расчет вероятностей биномиального распределения в Excel

Если использовать только бумагу и калькулятор, то расчеты по формуле биноминального распределения, несмотря на отсутствие интегралов, даются довольно тяжело. К примеру значение 100! – имеет более 150 знаков. Вручную рассчитать такое невозможно. Раньше, да и сейчас тоже, для вычисления подобных величин использовали приближенные формулы. В настоящий момент целесообразно использовать специальное ПО, типа MS Excel. Таким образом, любой пользователь (даже гуманитарий по образованию) вполне может вычислить вероятность значения биномиально распределенной случайной величины.

Для закрепления материала задействуем Excel пока в качестве обычного калькулятора, т.е. произведем поэтапное вычисление по формуле биномиального распределения. Рассчитаем, например, вероятность выпадения 50 орлов. Ниже приведена картинка с этапами вычислений и конечным результатом.

Расчет выпадения 40 орлов из 100 бросков монеты

Как видно, промежуточные результаты имеют такой масштаб, что не помещаются в ячейку, хотя везде и используются простые функции типа: ФАКТР (вычисление факториала), СТЕПЕНЬ (возведение числа в степень), а также операторы умножения и деления. Более того, этот расчет довольно громоздок, во всяком случаен не является компактным, т.к. задействовано много ячеек. Да и разобраться с ходу трудновато.

В общем в Excel предусмотрена готовая функция для вычисления вероятностей биномиального распределения. Функция называется БИНОМ.РАСП.

Функция биномиального распределения в Excel

Синтаксис функции состоит из 4 параметров:

Заполнение параметров функции биномиального распределения

Поля имеют следующие назначения:

Число успехов – количество успешных испытаний. У нас их 50.

Число испытаний – количество подбрасываний: 100 раз.

Вероятность успеха – вероятность выпадения орла при одном подбрасывании 0,5.

Интегральная – указывается либо 1, либо 0. Если 0, то рассчитается вероятность P(B=k); если 1, то рассчитается функция биномиального распределения, т.е. сумма всех вероятностей от B=0 до B=k включительно.

Нажимаем ОК и получаем тот же результат, что и выше, только все рассчиталось одной функцией.

Расчет выпадения 40 орлов функцией БИНОМ.РАСП.

Очень удобно. Эксперимента ради вместо последнего параметра 0 поставим 1. Получим 0,5398. Это значит, что при 100 подкидываниях монеты вероятность выпадения орлов в количестве от 0 до 50 равна почти 54%. А поначалу то казалось, что должно быть 50%. В общем, расчеты производятся легко и быстро.

Настоящий аналитик должен понимать, как ведет себя функция (каково ее распределение), поэтому произведем расчет вероятностей для всех значений от 0 до 100. То есть зададимся вопросом: какова вероятность, что не выпадет ни одного орла, что выпадет 1 орел, 2, 3, 50, 90 или 100. Расчет приведен в нижеследующей самодвигающейся картинке. Синяя линия – само биномиальное распределение, красная точка – вероятность для конкретного числа успехов k.

Расчет различных вероятностей биномиального распределения

Кто-то может спросить, а не похоже ли биномиальное распределение на… Да, очень похоже. Еще Муавр (в 1733 г.) говорил, что биномиальное распределение при больших выборках приближается к нормальному закону (не знаю, как это тогда называлось), но его никто не слушал. Только Гаусс, а затем и Лаплас через 60-70 лет вновь открыли и тщательно изучили нормальной закон распределения. На графике выше отлично видно, что максимальная вероятность приходится на математическое ожидание, а по мере отклонения от него, резко снижается. Также, как и у нормального закона.

Биномиальное распределение имеет большое практическое значение, встречается довольно часто. С помощью Excel расчеты проводятся легко и быстро. Так что можно смело использовать.

На этом предлагаю распрощаться до следующей встречи. Всех благ, будьте здоровы!